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借助Excel的統(tǒng)計(jì)學(xué)電路分析進(jìn)行良率分析

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關(guān)鍵詞: Excel,電路分析,良率分析

      引言

      設(shè)計(jì)在現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)行的電路具有一定的挑戰(zhàn)性。僅僅使電路設(shè)計(jì)符合規(guī)范目標(biāo)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,精確地預(yù)測(cè)一定范圍條件下電路的表現(xiàn)也很重要,包括各組件的真實(shí)值變化。此過程通常稱為電路良率分析。一旦較好地了解了這種表現(xiàn),設(shè)計(jì)人員便可以有效地利用預(yù)計(jì)的制造容差來選擇電路和組件進(jìn)行設(shè)計(jì)。

      眾所周知,正常運(yùn)行的電路,即使電路參數(shù)發(fā)生變化,其構(gòu)建、測(cè)試和支持成本也相對(duì)較低。

      本文闡述了容差的使用,以進(jìn)行良率分析預(yù)測(cè),即有多少以不同組件值構(gòu)建的電路能夠符合規(guī)格要求。要想進(jìn)行有效的良率分析,您必須要擁有:

      * 較好的電路模型,包括重要組件、雜散等。

      * 較好的預(yù)計(jì)組件值變化模型

      * 通過/未通過的定義或規(guī)格

      利用這三種輸入,您可以進(jìn)行一些必要的計(jì)算,來預(yù)測(cè)電路良率。用于進(jìn)行這些計(jì)算的工具其效用各不相同,取決于問題的復(fù)雜程度和您的洞察力。下面表1中,對(duì)一些方法進(jìn)行了總結(jié)。

      表1. 良率分析方法

      

      本文將介紹如何使用Microsoft Excel軟件進(jìn)行良率分析,討論了一些諸如概率分布函數(shù)(pdf)之類的基本良率分析概念,闡述了如何生成隨機(jī)組件值,得到理想的概率分布。

      利用組件值及設(shè)計(jì)方程式確定良率

      電路由各組件組成。這些組件共同組成電路,其整體表現(xiàn)遵循某種規(guī)則或設(shè)計(jì)方程式。要進(jìn)行良率分析,設(shè)計(jì)人員必須了解組件值變化和設(shè)計(jì)方程式。

      例如,就下面圖1所示的簡(jiǎn)單增益電路而言,已知RF和Rg的電阻后(假設(shè)為一個(gè)理想的運(yùn)算放大器),就可以很容易地計(jì)算出該運(yùn)算放大器的增益。然而,在現(xiàn)實(shí)世界中,如果我們構(gòu)建該電路數(shù)百次,組件Rf和Rg在每次電路構(gòu)建時(shí)的值會(huì)有所不同。接下來當(dāng)對(duì)該電路進(jìn)行測(cè)試時(shí),會(huì)發(fā)現(xiàn)其增益在每次電路構(gòu)建時(shí)也各不相同。在該示例電路中,發(fā)生組件值變化的是電阻容差。增益的設(shè)計(jì)方程式為:

      增益 = - Rf/Rg

      例如,如果我們選取Rf = 1kΩ并且Rg = 1kΩ,則增益為-1。

      

      圖1. 反相運(yùn)算放大器示例

      最后,該電路的規(guī)格可能會(huì)為:增益 = -1 ± 0.1V/V。

      組件PDF和CDF

      通常設(shè)計(jì)人員無法預(yù)測(cè)某個(gè)組件將會(huì)出現(xiàn)的值。但是憑借經(jīng)驗(yàn),我們可以預(yù)測(cè)有多少組件或者多少次產(chǎn)品運(yùn)行會(huì)出現(xiàn)某種表現(xiàn)。對(duì)于這種表現(xiàn)的描述稱為一個(gè)pdf或者概率分布函數(shù)。

      pdf是一種描述隨機(jī)變量X的可能取值x與某個(gè)特定值出現(xiàn)概率對(duì)比關(guān)系的曲線或函數(shù)。例如,在本文的示例電路中,我們描述了Rf電阻值與一批電阻中出現(xiàn)該電阻值概率的對(duì)比關(guān)系。

      cdf為累積分布函數(shù),為隨機(jī)變量X取一個(gè)小于或等于某個(gè)值x的概率。也就是說,如果我們擁有pdf分布,就可以利用積分計(jì)算出cdf。您可能已使用了高斯或正態(tài)pdf,其由兩個(gè)參數(shù)定義:平均值(中心值)和標(biāo)準(zhǔn)偏差(約等于峰值寬度)。圖2描述了正態(tài)分布的pdf和cdf。

      

      圖2. PDF和CDF示例

      正態(tài)分布適合于許多現(xiàn)實(shí)世界情況,并且更易于數(shù)學(xué)實(shí)現(xiàn)。但是,請(qǐng)注意!正態(tài)分布可能沒有描述出您的某種特殊情況。例如,如果您正使用20%容差的電阻,您會(huì)發(fā)現(xiàn)5%的電阻被全部去除,并被出售給其他人。這種情況下實(shí)際的pdf如圖3所示。

      

      圖3. 分類各部件的分布情況

      利用這種分布,測(cè)定電阻值與電阻標(biāo)簽一致的概率為零!同具有正態(tài)分布組件值的電路相比,您的電路會(huì)表現(xiàn)得相當(dāng)差。另外,獲得5%電阻的設(shè)計(jì)人員會(huì)發(fā)現(xiàn)其工作比預(yù)計(jì)的情況要好,因?yàn)樗姆植紝?duì)尾數(shù)進(jìn)行了取舍。

      我們從中得到的經(jīng)驗(yàn)是,有許多有用的分布可供選擇,而如何選擇這些分布非常重要。不要把自己局限于正態(tài)分布這一種。

      在Excel中產(chǎn)生隨機(jī)組件值

      如果我們能夠生成一系列隨機(jī)數(shù),那么我們就可以用這些數(shù)值來代表生產(chǎn)中的電阻值。然后,我們可以用這些值和電路方程式一起來確定電路的增益,將其與規(guī)范要求相對(duì)比,并計(jì)算出良率。下列各圖給出了具體的結(jié)果。就20次構(gòu)建、±20%的增益規(guī)范而言,良率為80% (每次運(yùn)行的結(jié)果會(huì)略有不同)。

      

      圖4. 生成隨機(jī)電阻值以及得到的增益

      上面的分析中,每個(gè)電阻均使用了一種均勻分布隨機(jī)變量。這種均勻分布下,取兩個(gè)極限值之間任何電阻值的概率都一樣。您可以在Excel*¹中使用兩種方法來生成電阻值:選擇Tools Data Analysis Random Number Generation,或使用RAND()函數(shù)(請(qǐng)參考Excel中的RANDBETWEEN())。如果您使用RAND()或RANDBETWEEN()函數(shù)方法,電子表格軟件每次計(jì)算便重新產(chǎn)生一個(gè)值(按F9鍵)。

      RAND()給出的是大于等于0并且小于1的隨機(jī)數(shù)。如需獲得大于等于1并且小于b的隨機(jī)數(shù),請(qǐng)使用RAND() × (b-a) + a。RANDBETWEEN(a,b)給出的是一個(gè)大于等于a并且小于等于b的整數(shù)(假設(shè)a和b均為整數(shù)),如果a和b是非整數(shù),RANDBETWEEN(a,b)將得到介于a和b之間的一個(gè)整數(shù)值。

      不幸的是,大多數(shù)組件均遵循均勻分布以外的分布。但是,這類分析在估計(jì)最差性能時(shí)較為快速和有效。

      正態(tài)分布PDF和CDF

      Excel提供了大量其它函數(shù),可以幫助我們生成更為真實(shí)的pdf。為了生成一種正態(tài)或高斯曲線,我們使用了內(nèi)置函數(shù)NORMDIST()。例如,對(duì)于平均值 = 0并且標(biāo)準(zhǔn)偏差 = 1的正態(tài)分布而言,“=NORMDIST($A7,0,1,F(xiàn)ALSE)”返回x = 存儲(chǔ)于單元格A7的概率。

      標(biāo)準(zhǔn)偏差(通常被稱為Σ)描述了pdf函數(shù)峰值的寬度,并相當(dāng)于第二個(gè)導(dǎo)數(shù)改變標(biāo)志的點(diǎn)。這就是用于生成圖2所示pdf的方法。通過將“FALSE”改變?yōu)?amp;ldquo;TRUE”,您將會(huì)得到cdf的各個(gè)值。

      如果您沒有更好的數(shù)據(jù),那么就假設(shè)組件的規(guī)定百分比容差為±3標(biāo)準(zhǔn)偏差。例如,一個(gè)±10%部件會(huì)具有±10/3 = ±3.33% (標(biāo)稱值)的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

      盡管cdf和pdf正確地描述了正態(tài)隨機(jī)變量,但是它們不生成隨機(jī)組件值。理想狀態(tài)下,我們會(huì)喜歡使用像“RANDNORM()”這樣的函數(shù),其返回的隨機(jī)數(shù)字符合正態(tài)分布。

      生成正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)

      如上所述,Excel沒有提供RANDNORM()函數(shù),但是一些附加函數(shù)提供了這種必要功能。要想生成10個(gè)1kΩ標(biāo)稱值并具有±20%生產(chǎn)取值范圍的電阻值,請(qǐng)遵循以下步驟:

      1. 平均數(shù) = 1kΩ標(biāo)稱值,標(biāo)準(zhǔn)偏差為1kΩ的±20%除以3 = ±200/3 = ±66.67Ω。

      2. 使用內(nèi)置函數(shù)生成一個(gè)數(shù)列,選擇Tools Data Analysis Random Number Generation。對(duì)話框如圖5所示。

      

      圖5. 隨機(jī)數(shù)生成對(duì)話框

      請(qǐng)注意,步驟1中計(jì)算得到了平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)偏差。輸入數(shù)字10,表示想要生成的隨機(jī)數(shù)(值)個(gè)數(shù)。輸出范圍給出了Excel將計(jì)算值放入電子表格的單元格。輸出結(jié)果如圖6所示。

      

      圖6. Excel生成的隨機(jī)組件值

      其它有用的內(nèi)置分布

      您可能已經(jīng)注意到,在Tools Data Analysis Random Number對(duì)話框中,Excel為您列舉出了許多種分布供您選擇。這些分布包括正態(tài)分布、均勻分布、二項(xiàng)式分布、伯努利分布、離散分布以及其它幾種分布。前面所述的均勻分布是一種估計(jì)最差性能的簡(jiǎn)單、有效的方法。二項(xiàng)式產(chǎn)生一種只有2個(gè)值(例如:1和0)的分布,其常見于邏輯電路中。一本好的統(tǒng)計(jì)學(xué)書籍和一些實(shí)驗(yàn)可以幫助您選擇一種正確的分布。

      如果您的分布同可用的分布都不匹配怎么辦呢? 制作屬于您自己的隨機(jī)數(shù)生成器!我們將在下一節(jié)中對(duì)此進(jìn)行介紹。

      生成與生產(chǎn)數(shù)據(jù)相匹配的隨機(jī)數(shù)

      有時(shí),沒有一種內(nèi)置或標(biāo)準(zhǔn)pdf函數(shù)適合于您電路的情況。此外,在分類電阻情況(參考圖3)中所看到的那樣,非標(biāo)準(zhǔn)分布的影響極其明顯。

      這種情況下,我們會(huì)想要繪制一種分布、利用生產(chǎn)測(cè)試數(shù)據(jù)創(chuàng)建一種分布或者使用計(jì)算數(shù)據(jù)創(chuàng)建一種分布,然后生成符合這種分布的隨機(jī)數(shù),以進(jìn)行良率分析。

      創(chuàng)建此類分布以及相應(yīng)的隨機(jī)數(shù)需要如下幾個(gè)步驟(如后面圖7所示)。

      1. 測(cè)量大量的真實(shí)組件或者通過計(jì)算來生成數(shù)據(jù)。您也許能夠從進(jìn)貨檢查過程獲得這種數(shù)據(jù)。這種原始數(shù)據(jù)將被用于創(chuàng)建pdf。

      2. 將數(shù)據(jù)制作成柱狀圖,并根據(jù)采樣總數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。換句話就是說,所有概率的和為1。這種標(biāo)準(zhǔn)化的柱狀圖便是我們所希望的隨機(jī)數(shù)遵循的pdf。

      3. 對(duì)該pdf求積分創(chuàng)建cdf。確認(rèn)單調(diào)達(dá)到最大值1。

      4. 生成一個(gè)介于0和1之間的均勻分布隨機(jī)數(shù):y~UY(0,1)。

      5. 將該均勻分布隨機(jī)數(shù)用作cdf上y = P(X ≤ x)時(shí)cdf的指數(shù),并記下x的值。

      6. 重復(fù)步驟4和5,生成所有您需要的x隨機(jī)值。

      

      圖7. 生成同生產(chǎn)數(shù)據(jù)相匹配的隨機(jī)數(shù)

      結(jié)論

      本文中,我們了解了如何生成良率分析所使用的隨機(jī)組件值。對(duì)于許多常見分布來說,Excel提供了一些讓這一過程更加快速、簡(jiǎn)單的內(nèi)置函數(shù)。對(duì)一些特殊情況來說,本文介紹了一種利用均勻分布隨機(jī)數(shù)和測(cè)定cdf來生成任意分布隨機(jī)數(shù)的簡(jiǎn)單方法。

    (審核編輯: 智匯小新)

    聲明:除特別說明之外,新聞內(nèi)容及圖片均來自網(wǎng)絡(luò)及各大主流媒體。版權(quán)歸原作者所有。如認(rèn)為內(nèi)容侵權(quán),請(qǐng)聯(lián)系我們刪除。

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